من اين اتت قيمة الباي؟

سأقرب السؤال بشكل أكثر تبسيطاً؟ ماهو التوثيق الأقرب لمنهجية حساب العدد بي؟ الترميز الفعلي للعدد بي هو ( π )، ولم يدخل حيز الاستخدام حتى عام 1700 بعد الميلاد، ولكن عدد من الحضارات القديمة كان لديهم تصور لاستخدام العدد بي، وتقريب اعتباطي له. بالرغم من أنه ليس واضحاً كيف قاموا باشتقاق هذا العدد. كمثال، حوالي العام 2000 قبل الميلاد، استخدم البابليون قيمة تساوي 3-1/8 وهي ما تعادل (3.125)، أيضاً استخدم المصريون القيمة 4×(8/9) ^2 وهذا يعادل (3.16049). أيضاً الفلكيون الهنديون كانوا يستخدمون قيمة للعدد بي تعادل 3 و 177/1250 وتساوي 3.1416، كما أن الاثبات الأقدم المكتوب كان حوالي العام 400 للميلاد، وكان على شكل ملف بنصوص قديمة (غير مفهومة) ولكن أيضاً كانت الطريقة غير معروفة. هناك قيم أخرى مختلفة قليلاً للعدد بي في نفس الأزمنة من تلك الثقافات، وقيم أكثر دقة للعدد بي في عام 500 للميلاد وذلك في كل من الصين والشرق الأوسط. ولكن الشيء البين بعد كل ما سبق أننا لسنا متأكدين كيف تم حساب تلك القيم. المثال الأقرب لاشتقاق العدد بي باستخدام طريقة حسابية موثقة هي باستخدام اللوغاريتم الذي اخترعه عالم الرياضيات اليوناني ارخميدس حوالي العام 250 قبل الميلاد. لقد قام ارخميدس بحساب مجالات العدد بي العظمى والدنيا برسم مضلع سداسي منتظم داخل وخارج دائرة، ثم قام بالتناوب على مضاعفة عدد أضلاع المضلع حتى وصل لمضلع منتظم ب 96 ضلعاً. قام بعدها بحساب محيطات هذه المضلعات، ووصل الى النتيجة 223/71 < بي <22/7 أو بصيغة أخرى ( 3.1428 > بي > 3.1408). في القرون عدة، عدد من الرياضيين استخدموا مضلعات بطرق أخرى أو بتعاقب نهائي مختلف لاشتقاق قيمة للعدد بي، ولكن ذلك لم يكن حتى عام 1600 عندما اكتشف وطور كل من نيوتن وليبنز حسابات كانت موجودة، وما سأسميه انا بأنها طريقة حسابية أكثر دقة للوصول التي تقريب للعدد بي. استخدم نيوتن سلسلة من دوال مقلوب الجيب لحساب قيمة للعدد بي بدقة 15 رقم بعد الفاصلة. بإمكان احد منا أن يتخيل حجم العمل اللازم للوصول الى هذه النتيجة بدون آلات حاسبة وحواسب.، حيث ان هذه الحسابات تتضمن عدد كبير من الأرقام، وإن خطأ واحد فقط يحدث نتيجة الحساب اليدوي كفيل بإلغاء صحة كل النتائج التي تم الوصول اليها. مثال شهير لهذه الصعوبة هو حالة وليام شانكس، الرياضي الإنكليزي المحب للرياضيات، والذي قضى أكثر من 20 سنة من حياته في الحساب اليدوي للعدد بي، وبحلول العام 1873 وصل لقيمة بدقة 707 رقم بعد الفاصلة. ولكن لسوء الحظ، في عقود لاحقة وبحلول العام 1944، استخدم فيرغسون قرص حاسب ميكانيكي ووجد أن العالم شانكس قد ارتكب خطأً صغيراً في الرقم 528 بعد الفاصلة، مما جعل كل الأرقام التي بعدها غير صحيحة. (لحسن الحظ، فإن شانكس لم يكن على قيد الحياة وقتها ليكتشف ذلك). إن تاريخ العدد بي مثير للاهتمام، كما أنه غير مكتمل عبر تاريخ الحضارات، والأصول المتروكة لنا منه موجودة على شكل نثرات مسجلة ومجزأة منذ أزمنة قديمة. إن صوتي هو إما لارخميدس أو نيوتن، اعتماداً على كيفية تعريفك لمصطلح "حساب". بأي حال، يوجد الكثير من التواريخ المهمة في هذا السياق والتي يمكن ان تعود اليها لإعادة صياغة رؤيتك. واحدة من تفضيلاتي هو كتاب صغير منشور في عام 1970 م لكاتبه بيتر بيكمان بعنوان "تاريخ العدد بي"

سأخبرك بالحقيقة التالية، حين كنت في الرابعة من عمري، تعلمت كيفية العد وشيء من كيفية الجمع، ولكن ذلك لم يكن تدريباً رياضياً جدياً. حيث انه وبينما تقوم أمي بحياكة الملابس وأنا أقوم بإزعاجها، فقد كانت تعطيني شريط قياس ومجموعة من أغطية الجرار وتطلب مني قياس أبعاد كل واحدة منها. في الواقع، هي لم تكن تكترث لقياس أغطية الجرار، ولكن هدفها كان فقط إبقائي مشغولاً عنها. معتقداً أني أقوم بمهمة شديدة الأهمية، فقد قمت بقياسها جميعا بدقة متناهية. ثم سألتها، هل يتوجب على قياس المسافة الداخلية للأغطية أم فقط المسافة المحيطة. وباعتبار ان قياس الاثنين سيجعلني مشغولاً عنها أكثر، فقد طلبت مني أن أقيس البعدين الإثنين. لقد صادف أني اكتشفت ان قياس شريط يلف الغطاء لفة واحدة يعادل ثلاثة أضعاف القياس عرضياً داخل الغطاء، بغض النظر عن حجم الغطاء. باعتبار أني لا املك أي فكرة عن القسمة ومهارات القياس لدي ليست بالجيدة، فإن الذي اكتشفته فعلياً هو تقريب اعتباطي للعدد بي. العدد بي اذاً هو النسبة بين محيط الدائرة الى قطرها الداخلي. ان هذه النسبة لطالما كانت موجودة، حيث انها علاقة طبيبعة والطبيعة وهبتنا إياها. وهذه النسبة لم تنشأ من أحد على الإطلاق. هي موجودة منذ الأزل وستبقى موجودة. ( لربما في الهندسة الغير اقليدسية فإن هذه العلاقة ستكون أكثر تعقيداً).

لقد تم تحديد قيمة العدد بي عوضاً عن الحساب. والعدد بي هو نسبة محيط الدائرة الى قطرها. كما أنه ليس من الصعب إثبات أن هذه النسبة ثابتة لأي دائرة، ونسمي هذا العدد بي. يمكنك تقريب العدد بي بدقة تقريبية باستخدام طرق مختلفة – على سبيل المثال: بتشذيب التمثيل المستمر المنكسر، وباستخدام نسبة المحيط الى نصف القطر الداخلي لمضلع منتظم بعدد أضلاع متزايد، وبجمع عدد محدود من أرقام لسلاسل مختلفة تنتهي بمجموعها الى قيمة بي.، او التقاط نقاط بشكل عشوائي من التوزيع الموحد على مربع وضربها بأربعة أضعاف الكسر الواقع داخل الدائرة المعتبرة. يمكنك بالإضافة لذلك إيجاد أرقام جزئية من العدد بي بدون الحاجة لإيجاد الأرقام السابقة. ولكن أياً من الافكار السابقة لا يمكن تسميته بحساب العدد بي، وذلك لأن قيمة الأعداد الغير حقيقية لا يمكن التعبير عنها بالأرقام.